2. Задачи, приводящие к исследованию решений уравнений Лапласса. Задача Дирихле
К изучению уравнения Лапласа приводят самые разнообразные физические задачи совершенно разной природы. Это уравнение встречается в задачах электростатики, теории потенциала, гидродинамики, теории теплопередачи и многих других разделах физики, а также в теории функций комплексного переменного и в различных областях математического анализа. Уравнение Лапласа является простейшим представителем широкого класса так называемых эллиптических уравнений.
Здесь, может быть, уместно вспомнить слова А. Пуанкаре: "Математика - это искусство давать разным вещам одно наименование". Эти слова являются выражением того, что математика изучает одним методом, с помощью математической модели, различные явления действительного мира.
Так же как и уравнение Лапласа, важное место в теории уравнений с частными производными и ее приложениях занимает уравнение теплопроводности. Это уравнение встречается в теории теплопередачи, в теории диффузии и многих других разделах физики, а также играет важную роль в теории вероятностей. Оно является наиболее простым представителем класса так называемых параболических уравнений. Некоторые свойства решений уравнения теплопроводности напоминают свойства решений уравнения Лапласа, что находится в согласии с их физическим смыслом, так как уравнение Лапласа описывает, в частности, стационарное распределение температуры. Уравнение теплопроводности было выведено и впервые исследовано в 1822 году в знаменитой работе Ж. Фурье "Аналитическая теория тепла", которая сыграла важную роль в развитии методов математической физики и теории тригонометрических рядов.
Уравнение Лапласса в кольце
Уравнение
Общее решение
Условия
Частные решения
Рассмотрим ситуацию, когда функция u не зависит от t, т.е. частная производная ut=0. В этом случае теплопроводность Δu=0
Если рассматриваемое в пространстве некоторое тело V, ограниченное поверхность S и на поверхности поддерживается определенная температура, то внутри тела V устанавливается некоторая температура.
Δu=0
Полученная задача называется первой краевой задачей, задачей Дирихле для уравнения теплопроводности.