1. Основные типы уравнений математической физики.

Линейные уравнения второго порядка

 

 – гиперболический тип

Характеристическое уравнение, замена переменных

ξ=φ(t,x)

η=ψ(t,x)

подставить

Результат:

 – параболический тип

Характеристическое уравнение, замена переменных.

Якобиан перехода должен быть не равен 0 в области решения уравнения.

Подставить.

Результат:

 – эллиптический тип

Характеристическое уравнение, замена переменных

ξ=φ(t,x) – вещественная часть,

η=ψ(t,x) - мнимая часть, подставить.

Результат:

Непосредственные уравнения.

1)

Замена:

– понижение порядка.

Нет частной производной по х, значит временно x=const

Решаем

2)

Порядок понизить нельзя, так как в уравнение входит сама функция.

Нет частной производной по х, значит временно x=const

Решаем однородное

 

Характеристическое уравнение:

3)

Замена:

 - понижение порядка.

Нет частной производной по y, значит временно y=const

Решаем однородное u’-u=0

u=C*e^x - общее решение

u=-y - частное решение

 

Уравнение колебания струны

Формула Даламбер-Эйлера

Метод бегущих волн уравнения колебания струны

Уравнение теплопроводности для стержня

 

A,B=0, C=a², B²-AC=0 – уравнение параболического типа

Утв. Функция

При t>0 и произвольной ξ принадлежит R является частным решением одномерного уравнения теплопроводности