Пусть требуется изучить количественный признак генеральной совокупности. Допустим, что из теоретических соображений удалось установить, какое именно распределение имеет признак. Возникает задача оценки параметров, которыми определяется это распределение.

Обычно в распоряжении исследователя имеются лишь данные выборки, полученные в результате n наблюдений (здесь и далее наблюдения предполагаются независимыми). Через эти данные и выражают оцениваемый параметр. Рассматривая значения количественного признака как независимые случайные величины, можно сказать, что найти статистическую оценку неизвестного параметра теоретического распределения - это значит найти функцию от наблюдаемых случайных величин, которая и дает приближенное значение оцениваемого параметра.

Итак, статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют функцию от наблюдаемых случайных величин.

Для того чтобы статистические оценки давали «хорошие» приближения оцениваемых параметров, они должны удовлетворять определенным требованиям: оценка должна быть несмещенной, эффективной и состоятельной.

Несмещенной называют статистическую оценку , математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки, т. е.

Смещенной называют оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Эффективной называют статистическую оценку, которая (при заданном объеме выборки n) имеет наименьшую возможную дисперсию.

При рассмотрении выборок большого объема (n велико) к статистическим оценкам предъявляется требование состоятельности.

Состоятельной называют статистическую оценку, которая при стремится по вероятности к оцениваемому параметру. Например, если дисперсия несмещенной оценки при стремится к нулю, то такая оценка оказывается и состоятельной.

Рассмотрим точечные оценки параметров распределения, т.е. оценки, которые определяются одним числом , где - выборка.

Точечное оценивание параметра теоретического распределения.

X,X… X - последовательность независимых случайных величин, которые являются последовательностью результатов наблюдения за случайной величиной Х, проводящихся независимо и в одинаковых условиях.

Тогда обычно считают, что каждая из случайных величин X,X… Xраспределена так же, как и изучаемая случайная величина Х.

Если для любой d>0 , то говорят, что последовательность случайной величины X,X… X сходится по вероятности к числу a.

Проще говоря (для народа), с каждым n, то есть с каждым последующим испытанием, возрастает уверенность (вероятность) того, что случайная величина окажется ближе к a.

Пример. (следствие из теоремы Чебышева)

Пусть X,X… X - это последовательность результатов независимых наблюдений за случайной величиной X в одинаковых условиях, тогда последовательность

и так далее…

…………………

сходится по вероятности к M(X).

На практике это означает, что с большой долей уверенности при большом n значение случайной величины  окажется внутри d-окрестности M(X), то есть при достаточно большом n значение случайной величины может принимать в пределах надежности не превышающей d за M(X).

Определение. Если (тетта) - некоторый параметр теоретического распределения случайной величины X и некоторая последовательность случайной величины , построенная по результатам наблюдений, стремится к q по вероятности, то эту последовательность называют оценкой параметра .

На практике это означает, что при достаточно большом n зафиксированное по результатам наблюдений значение с большой долей уверенности можно принять за искомый параметр q.

Интервальная оценка.

Пусть  и  - две последовательности случайных величин, связанные с результатом наблюдений.

Значения этих случайных величин будем обозначать через  и .

Пусть через  (гамму) обозначена некоторая заданная вероятность.

Говорят, что интервал ( ; ) покрывает искомый параметр q с надежностью , если

P(<q<)=

Если для любой  можно найти такое n, при котором выполняется указанное выше равенство, то говорят, что пара последовательности  и  называется интервальной оценкой.

Интервал ( ; ) называется доверительным интервалом с надежностью  оцениваемого параметра q.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами—концами интервала. Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок .

Пусть найденная по данным выборки статистическая характеристика Q* служит оценкой неизвестного параметра Q. Будем считать Q постоянным числом (Q может быть и случайной величиной). Ясно, что Q* тем точнее определяет параметр Q, чем меньше абсолютная величина разности |Q- Q*|. Другими словами, если d>0 и |Q- Q*| <d , то чем меньше d , тем оценка точнее.

  Таким образом, положительное число d характеризует точность оценки.

Однако статистические методы не позволяют категорически утверждать, что оценка Q* удовлетворяет неравенству |Q- Q*| <d; можно лишь говорить о вероятности g, с которой это неравенство осуществляется.

  Надежностью (доверительной вероятностью) оценки называют вероятность g , с которой осуществляется неравенство |Q—Q* | <d .

Обычно надежность оценки задается наперед, причем в качестве g берут число, близкое к единице. Наиболее часто задают надежность, равную 0,95; 0,99 и 0,999.

Пусть вероятность того, что, |Q- Q*| <d равна g:

P(|Q- Q*| <d)= g.

Заменив неравенство равносильным ему двойным неравенством получим:

Р [Q* —d< Q < Q* +d] = g

  Это соотношение следует понимать так: вероятность того, что интервал Q* - d< Q < Q* +d заключает в себе (покрывает) неизвестный параметр Q, равна g.

 

  Интервал (Q* - d Q* +d) называется доверительным интервалом , который покрывает неизвестный параметр с надежностью g.